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Q 重合，那么向心力将与 SP 的平方和 QT 的平方的乘积除以 QR 成反比。
因为点 P 是弧线 APQ 的中间点，QR 等于弧线 QP 两倍的矢，同时，三角

形 SQP 的两倍或 SP 和 QT 的乘积与经过两倍弧长的所用时间成正比，所

以时间等于两倍弧长。
推论Ⅱ . 假设垂线 SY 从力的中心延伸，与切线 PR 的垂线相交，那
2
么向心力和 SY ×QP 2 成反比。这是因为在矩形中 SY 和 QP 的乘积等于 SP
QR
和 QT 的乘积。

推论Ⅲ . 假设物体做圆周运动，或与一个同心圆相切或相交，那么轨
道在相切或相交处有极小接触角度的圆，且点 P 的曲率和曲率半径与它

是相等的。同时，经过力的中心作弦 PV，那么向心力和 SY 的平方与 PV

的乘积成反比。这是因为 PV 等于 QP 的平方除以 QR 的值。
推论Ⅳ . 与推论Ⅲ做相同假设，那么向心力与速度的平方成正比，和

弦成反比。根据命题 1 的推论Ⅰ，得出速度与垂线 SY 成反比。
推论Ⅴ . 假设任意曲线图形 APQ 给定，向心力指向的中心点 S 也给

定，那么可以推出向心力定律，即物体 P 不断偏离直线运动，且运动轨
2
2
迹与图形相同。通过计算可知， SY ×QP 2 或 SY ×PV 与向心力成反比。
QR
下面我们将证明向心力定律。

命题 7 问题 2

假设物体做圆周运动，求指向任意给定点的向心力定律。 （图 A 2 - 5 ）

方法 1. 假设圆周 VQPA 已知，点 S 是力指向的给定中心点。物体 P
沿着 VQPA 做圆周运动，点 Q 是该物体的目的地。直线 PRZ 是其切线，

点 P 是切点；过点 S 作弦 PV 和圆周的直径 VA，连接 AP ；再作直线 QT
与 SP 垂直，两者相交于点 T ；延长 QT，与切线 PR 相交于点 Z ；再通