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第1编 物体的运动 057

2 和
形 QvPR，根据椭圆的属性， Pv×vG PC 2 是相等的。因为三角形 QvT、
QV CD 2
PCF 相似，得出 Qv 2 ＝ PC 2 ，又根据矩形的属性， PvG ＝ PC 2 × PC 2 ，因
QT 2 PF 2 QT 2 CD 2 PF 2
2
2
此得出，vG 与 QT 2 的比值等于 PC 与 CD ×DF 2 的比值。因为 QR＝Pv，根
Pv PC 2
据引理 12，BC×CA＝CD×PF，当点 P 和 Q 重合时，2PC＝vG，又因为
2
2
外项的乘积等于内项的乘积，所以得出， QT ×PC 2 ＝ 2BC ×CA 2 ，因此根
QR PC
2
2
2
据命题 6 的推论Ⅴ，向心力与 2BC ×CA 2 成反比。因为 2BC ×CA 的值给
PC
定，所以向心力和 PC 的倒数成反比，即与 PC 成正比。
方法 2. 直线 PG 经过椭圆中心点 C，且 GP、DK 是椭圆共轭直径，
在直线 PG 取另一点 u，且 Tu＝Tv，再取 uv，使得 uV ＝ DC 2 。根据椭圆
vG PC 2
2
的属性， QV 2 和 DC 2 相等，因此得出，Qv ＝Pv×uV，两边同时加上
Pv×vG PC 2
2
Pu×Pv，那么 PQ 将与 PV×Pv 相等。因此与圆锥曲线相切于点 P 并过
点 Q 的圆周，同时也经过点 V。假设点 P 和 Q 重合，那么 uV ＝ DC 2 ＝ PV ，
vG PC 2 PG
或 uV ＝ PV ，就是说，PV ＝ 2DC 2 。因此根据命题 6 的推论Ⅲ，向心力与
vG 2PC PC
2
2
2
2DC ×DF 2 成反比，因为 2CD ×PF 是给定值，所以向心力与 PC 的倒数
PC
成反比，即 PC 成正比。
推论Ⅰ . 向心力与物体到椭圆中心点的距离成正比，反之，当向心力
和这个距离成正比时，物体围绕椭圆中心点做椭圆运动，或围绕与椭圆

相似的圆周做曲线运动。
推论Ⅱ . 物体围绕若干椭圆运动，若是椭圆有一个公共中心，那么其

运动周期相等，因为根据命题 4 的推论Ⅲ和推论Ⅶ，它们在相似图形中
的运动时间相等。然而若干椭圆有共同的长轴，运动时间的比值与椭圆

面积的比值成反比，也和相等时间经过的面积成反比。就是说，运动时
间和短轴成正比，和它在长轴最高点的运动速度成反比。同时，前者的

比值和后者的比值相等。