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第1编 物体的运动 049

推论Ⅶ . 以此类推。如果物体运动的周期与半径的任意 N 次方成正
比，那么速度和半径的（N-1）次方成反比，向心力和半径的（2N-1）次

方成反比。反之亦然。

推论Ⅷ . 物体运动时经过任意相似图形的相似部分，且这些图形都处
于相似位置，有各自的中心，那么想要证明任何时间、速度、力都满足

以上结论，只要运用之前的实例就可以了。这种计算并不难，只要用相
等面积代替相等运动、用物体到中心的距离代替半径就可以了。

推论Ⅸ . 同理，物体在已知向心力作用下作圆周匀速运动，那么在任
意时间内，它经过的弧长等于圆周直径与其在相同时间内受相同力作用

下的所经距离的等比中项（即 A∶B＝B∶C 则 B 为 A、C 的等比中项）。

附录

在天体运动中，克里斯托弗 · 雷恩爵士、胡克博士和哈雷博士等人都
分别发现了推论Ⅵ的理论，所以，之后我将对向心力随着物体到中心距

离变化而变化的问题进行系统详细的论述。
同时，根据命题 3 和推论，我们知道向心力和任意已知力的比值。

假设一个物体受重力作用，且以地球为中心做圆周运动，那么重力就是
该物体的向心力。根据推论Ⅸ，物体下落时环绕圆周运动一周的时间，

以及在任意时间内经过的弧长都是已知的。惠更斯先生在其著作《论摆

钟》中，就对重力和做圆周运动的物体所受向心力进行了比较和分析。
因此，我们可以运用以下方法来证明命题 3 ：在任意圆周内做任意

的内切多边形，假设物体以给定速度沿多边形运动，在多边形的顶角受
到圆周的影响而反弹，那么每次反弹时作用于圆周的力和运动速度成正

比。也就是说，在给定时间内，这些力的总和与速度和反弹次数的乘积
成正比。假设多边形是给定的，那么它与给定时间内经过的路径成正比，