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推论Ⅱ .AB 和 Ab 最终与其正弦 BC、bc 成正比，又因为正弦和弦
BD、bd 成正比，所以正弦将被平分，并趋于向给定点重合。
推论Ⅲ . 这些正弦和物体运动时间（物体以给定速度沿着弧线运动所

需时间）的平方成正比。
推论Ⅳ . 因为三角形 ADB 与 Adb 面积的比值等于边 AD 和 Ad 的立方
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的比值，同时等于边 DB 和 DB 的比值。由此可以得出，三角形 ADB 的
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面积与 Adb 面积的比值等于（AD×DB）∶（Ad×db），AD ∶Ad ＝DB∶db ；
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进一步得出，三角形 ABC 的面积与 Abc 面积的比值等于 BC ∶bc 。
推论Ⅴ . 因为直线 DB 平行于 db，且与直线 AD、Ad 的平方成正比，
根据抛物线的属性，所以弧线面积 ADB 和 Adb 分别是直角三角形 ADB

和 Adb 面积的三分之二，剩下的弓形面积 AB、Ab 则是对应的直角三角形
的三分之一。因此，这些弧线图形的面积和弓形图形的面积恰好与切线

AD、Ad 的平方成正比，且与相对应的弧或弦 AB、Ab 的立方成正比。

附录

不过，我们讨论的所有问题都有一个假设的前提，即切角不会无限

大于或小于圆形和切线组成的任意切角。也就是说，通过点 A 的弧线的
曲率不会无限大或无限小，且 AJ 的长度是一个限定值。我们可以设定直

线 DB 与 AD 的立方成正比，如此，切线 AD 和弧线 AB 之间就不可能存

在过点 A 的其他弧线，所以这个切角会无限小于弧线的切角。同样，假
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设直线 DB 与 AD 、AD 、AD 或 AD 等成正比，那么得到一系列趋于无
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限的切角，且后者无限小于前者。而假设直线 DB 与 AD 、AD 、AD 、
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AD 、AD 或 AD 等成正比，得到另外一系列趋于无限的切角，那么第
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一个切角和弧线的切角相等，第二个切角将变得无限大，且后者无限大
于前者。从这些切角中任取两个，则两者中间还可以插入另一系列的任