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第1编 物体的运动 039

作直线 BG 与弦 AB 垂直，作
直线 AG 与切线 AD 垂直，二

者相交于点 G。让点 D、B 和

G 分别靠近点 d、b 和 g，假
设直线 BG 和 AG 最终在点 J

相 交， 且 点 D、B 将 与 点 A
重合，得出，线段 GJ 的长度

可能比任意给定距离小。根
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据圆的属性，AB ＝AG×BD，
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Ab ＝Ag×bd，所以，AB 与
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Ab 的 比 值 是 AG 和 Ag 的 比
值与 BD 和 bd 比值的乘积。

不过，因为 GJ 比任意给定长
度小，AG 和 Ag 的比值与等

量比的差值也可能比任意给
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定值小，所以，AB 与 Ab 的
（图 A 1-9）
比值与 AG 和 Ag 比值的差值
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也比任意给定值都小。根据引理 1 得出：AB ∶Ab ＝BD∶bd。
情形 2. 假设直线 BD 与 AD 组成任意指定值的角，那么 BD 与 bd 的
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最终比值也和之前的比值相等，所以 AB 与 Ab 的比值也和 BD 与 bd 的
比值相等。

情形 3. 假设角 D 为任意角，直线 BD 经过任意给定点，或为任意直
线，那么角 D 和角 d 将不断趋于相等，且比给定的任意差值小。根据引

理 1，角 D、d 最终将趋于相等，因此，直线线段 BD 与 bd 的比值与之前
的比值相等。

推论Ⅰ . 假设切线 AD、Ad、弧线 AB、Ab 及其对应正弦 BC、bc 最
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终和弦 AB、Ab 相等，那么 AB 和 Ab 最终也将与弦 BD、bd 成正比。