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第1编 物体的运动 037
当点 B、C 向点 A 不断靠近时,假设直线 AD 不断向远处延长,然后
取任意两点 d、e,那么线段 Ad 与 AD 成正比、Ac 与 AE 成正比。另作直
线 bd、ec 与直线 BD、EC 平行,并分别与直线 AB、AC 相交于点 b、c。
弧线 Abc 和弧线 ABC 相似。再作经过 A 点作直线 Ag 与两条弧线相切,
且与直线 DB、EC、db、ec 分别相交于点 F、G、f、g。假设直线 Ae 长度
是固定值,让点 B、C 不断与点 A 重合,那么角 cAg 将消失,弧线面积
Abd 将与直线面积 Afd 重合,弧线面积 Ace 将与直线面积 Age 重合。根据
引理 5,三角形 Adf 和 Aeg 面积的比值等于对应边 Ad、Ae 的比值的平方,
同时三角形 ABD 和 ACE 面积始终与三角形 Adf 和 Aeg 面积成正比,且
边 AD、AE 也始终与边 Ad、Ae 成正比,因此可以得出,三角形 ABD 与
ACE 面积的最终比值等于对应边 AD 和 AE 的比值的平方。
引理 10
物体受任意一个指定力的作用,不管这个力是已知不变的,还是
持续增大或持续减小的,物体在初始阶段的运动距离始终与时间
的平方成正比。
假设用直线 AD、AE 表示时间,直线 DB、EC 表示该时间段物体运
动的距离,那么运动所产生的距离就可以用三角形 ABD、ACE 的面积来
表示。根据引理 9,初始阶段的运动距离与时间 AD、AE 的平方成正比。
推论Ⅰ . 在成比例的时间内,物体在相似图形的相似部分运动,其产
生的距离误差与所用时间的平方成正比。而这些误差是由作用于物体的
力引起的,可以根据物体在这些相似图形中的运动求出。若是这些力不
存在,那么误差也不会存在,物体将在这个时间内到达既定位置。
推论Ⅱ . 同理,物体在相似图形的相似部分运动,受到成比例的力的