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第三章 毕达哥拉斯 21

他大概构想出了一个原子态的世界，认为物体由分子组成，分

子则由以不同形态排列的原子构成。通过这种方式，他希望使
数学成为物理学的基础，就像数学之于美学那样。
毕达哥拉斯，或者是他的授业弟子们的最伟大的发现，就

是关于直角三角形的命题，即直角三角形中两直角边的平方和
等于斜边的平方。埃及人已经知道，如果一个三角形的边长分

别为 3、4、5，这个三角形一定是直角三角形，但是最早发现
2
2
2
3 ＋ 4 =5 的显然是希腊人，并且在此基础之上，发现了这个
一般命题的证明。
毕达哥拉斯定理让人们立即发现了无理数的存在，这似乎
否定了他的全部哲学。等边直角三角形的斜边的平方，等于任

意直角边平方的两倍。我们假设直角边长一英寸，那么弦应该
是多长呢？我们假设斜边的长度是 m/n，那么 m²/n²=2。如果 m
和 n 有一个公约数，我们可以除去公约数，此时 m 和 n 必有一

个是奇数。m²=2n²，所以 m² 是偶数，所以 m 也是偶数；因此 n
就是奇数。假设 m=2p。那么 4p²=2n²，因此 n²=2p²，因此 n 是

偶数，与假设相反。所以就有一个可以指代斜边的分数 m/n。
这样的证明过程表明，无论我们采用什么样的长度单位，
一定会出现长度与单位没有确切数值关系的情况；也就是说，

使问题中的 m 倍的长度等于 n 倍的单位，这样的两个整数 m、
n 不存在。这就使得希腊的数学家们坚信，几何学的成立必定

是独立于数学的。在柏拉图对话录中，有几个章节可以证明在
他那个年代已经有人将几何学当作一个独立的学科看待了；欧
几里得完善了几何学。欧几里得在《几何原本》第二编中，用